Neka je \(z=f(x,y)\) realna funkcija dvije realne varijable čiji je graf ploha prikazana na slici. Neka točka \((x_0,y_0)\) iz unutrašnjosti domene funkcije \(f\) prikazana je na slici plavom bojom u xy-ravnini. Pripadna točka na grafu funkcije \(f\) prikazana je također plavom bojom i njezine koordinate su \((x_0,y_0,z_0)\) pri čemu je \(z_0=f(x_0,y_0).\)
Pomoću tipki A, D, W i S plavu točku u xy-ravnini možete micati paralelno s osima unutar smeđeg kvadrata. Zajedno s njom se pomiče i pripadna plava točka na plohi. Možete koristiti i pripadne tipke na tastaturi.
PARCIJALNA DERIVACIJA PO VARIJABLI \(x\)
Točkom \((x_0,y_0)\) postavimo ravninu \(y=y_0\) prikazanu na slici u nijansama svjetloplave boje. Ta ravnina siječe graf funkcije \(f\) po nekoj krivulji koja je na slici prikazana crvenom bojom. Na tu krivulju možemo gledati kao na graf funkcije jedne varijable \(f_1(x)=f(x,y_0).\) Derivaciju funkcije \(f_1\) zovemo parcijalna derivacija funkcije \(f\) po varijabli \(x\).
\(\dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=\lim\limits_{\Delta x\to0}{\dfrac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}}\)
\(\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=\lim\limits_{\Delta x\to0}{\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}}\)
Geometrijska interpretacija Parcijalna derivacija funkcije \(z=f(x,y)\) po varijabli \(x\) u točki \((x_0,y_0)\) je koeficijent smjera tangente na graf funkcije \(f_1(x)=f(x,y_0)\) u točki \(x_0.\) Spomenuta tangenta prikazana je na slici plavom bojom.
3D scena Pomoću tipki A i D pomičete tangentu po presječnoj krivulji. Pomoću tipki W i S mijenjate presječnu krivulju na plohi i pripadnu ravninu \(y=y_0\) ukoliko je odabrano da bude vidljiva u 3D sceni.
PARCIJALNA DERIVACIJA PO VARIJABLI \(y\)
Točkom \((x_0,y_0)\) postavimo ravninu \(x=x_0\) prikazanu na slici u nijansama svjetloplave boje. Ta ravnina siječe graf funkcije \(f\) po nekoj krivulji koja je na slici prikazana crvenom bojom. Na tu krivulju možemo gledati kao na graf funkcije jedne varijable \(f_2(y)=f(x_0,y).\) Derivaciju funkcije \(f_2\) zovemo parcijalna derivacija funkcije \(f\) po varijabli \(y\).
\(\dfrac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)=\lim\limits_{\Delta y\to0}{\dfrac{f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)}{\Delta y}}\)
\(\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)=\lim\limits_{\Delta y\to0}{\frac{f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)}{\Delta y}}\)
Geometrijska interpretacija Parcijalna derivacija funkcije \(z=f(x,y)\) po varijabli \(y\) u točki \((x_0,y_0)\) je koeficijent smjera tangente na graf funkcije \(f_2(y)=f(x_0,y)\) u točki \(y_0.\) Spomenuta tangenta prikazana je na slici plavom bojom.
3D scena Pomoću tipki A i D mijenjate presječnu krivulju na plohi i pripadnu ravninu \(x=x_0\) ukoliko je odabrano da bude vidljiva u 3D sceni. Pomoću tipki W i S pomičete tangentu po presječnoj krivulji.
TANGENCIJALNA RAVNINA
Spomenute plave tangente određuju tangencijalnu ravninu na graf funkcije \(z=f(x,y)\) u točki \((x_0,y_0).\) Preciznije, tangenta na graf funkcije \(f_1(x)=f(x,y_0)\) u točki \(x_0\) i tangenta na graf funkcije \(f_2(y)=f(x_0,y)\) u točki \(y_0\) određuju tangencijalnu ravninu na graf funkcije \(z=f(x,y)\) u točki \((x_0,y_0).\)
3D scena Pomoću tipki A i D pomičete tangencijalnu ravninu po plohi paralelno s x-osi po pripadnoj presječnoj krivulji. Pomoću tipki W i S pomičete tangencijalnu ravninu po plohi paralelno s y-osi po pripadnoj presječnoj krivulji.
Pomoću srednje tipke miša (ili kotačića) možete približavati ili udaljavati kameru od objekta, a pomoću lijeve tipke miša možete se kretati oko objekta.
Pomoću dodira jednim prstom možete se kretati oko objekta. Pomoću dodira dva prsta na standardni način možete približavati ili udaljavati kameru od objekta.